Меня уже очень давно мучает вопрос, почему в школе не преподают основ формальной логики и теории вероятностей. Ничего же сложного, а практической пользы куда больше, чем от всяких там интегралов. Про формальную логику я вам рассказывать не буду, а вот ознакомится с основами теории вероятностей перед тем, как жаловаться на рандом, будет полезно. Предварительные требования: знать четыре арифметических действия, понимать что такое десятичные дроби и их отношения с обычными, уметь найти неизвестное в уравнении из двух чисел, арифметического действия и неизвестного.
Что такое вероятность как таковая, или немного теории:
Для начала определимся, что такое вероятность. С практической точки зрения, вероятность события — это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений или опытов. То есть вероятность - статистическая мера. Из этого следует, что любое событие, вероятность которого не равна 0, может произойти, и какие-либо выводы можно делать только обладая достаточно большой выборкой. Предсказывать небольшие выборки можно с достаточной достоверностью только когда шанс крайне близок к 1 или 0. По моему личному мнению, приемлемая точность для шанса 1/N достигается при 10×N испытаний. То есть судить о шансе с точностью до процента можно имея выборку в тысячу испытаний.
В вычислениях используется не процентное, а дробное выражение вероятности. То есть шанс в процентах следует разделить на 100: 75 → 0.75, 66.6 → 0.666 и так далее.
Определения:
Случайное событие может произойти или не произойти в результате эксперимента, оно происходит иногда. При расчете события обозначают буквами A,B,C и так далее. Вероятность происхождения события обозначается как p. В случае необходимости указать шансы для нескольких событий в одной формуле используют обозначения P(A), P(B) и так далее.
Невозможным событием называется событие, вероятность которого равна 0. Невозможное событие не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда. Событие, вероятность которого не равна 0, не является невозможным и может произойти.
Достоверным называется событие, вероятность которого равна 1. Достоверное событие не может не произойти в результате эксперимента, оно происходит всегда. Событие, вероятность которого не равна 1, не является достоверным и может не произойти.
Противоположным событию A называется событие, состоящее в том, что событие A не произошло. Обозначается как `A (на бумаге используется горизонтальная черта над А). Вероятность события P(`A) обозначается как q=1-p.
Зависимыми называют события, одно из которых влияет на шанс происхождения другого. Заточить вещь на +5 можно только если ее перед этим успешно заточили на +4.
Независимыми назвают события, происхождение одного из которых не влияет на происхождение другого. Заточка одной вещи никак не влияет на заточку другой.
Совместными называют события, не исключающие наступления друг друга. В противном случае они называются несовместными.
Произведением событий называется событие, заключающееся в наступлении как события А, так и события B. Обозначается как P(A×B) или P(AB).
Суммой событий называется событие, заключающееся в наступлении как минимум одного из суммируемых событий. Обозначается как P(A+B).
Правила работы с вероятностями:
Сложение вероятностей:
Вероятность одновременного происхождения совместных событий равна произведению шансов этих событий (p1×p2×...×pn). В случае равенства шансов можно возвести p в степень, равную количеству испытаний.
Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий равна 1 минус произведение вероятностей одновременного непроисхождения ни одного из событий (1-q1×q2×...qn).
Вероятность одновременного происхождения зависимых совместных событий равна вероятности происхождения последнего события в цепочке событий.
Умножение вероятностей:
Вероятность уже произошедшего события всегда равна 1, независимо от его вероятности до испытания. Это очень важное свойство, не стоит о нем забывать
Вероятность совмещения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось. То есть P(AB)=P(A)*PA( B), где PA( B) - шанс события B если наступление события A достоверно. В случае независимых событий PA(B)=P(B). В случае несовместных событий PAB=0.
Немного практических примеров:
Для подсчета итоговой вероятности зависимых событий используется формула суммы вероятностей. Сложение вероятностей в простейшем виде происходит путем перемножения шансов. Именно таким образом считается вероятность заточить предмет, поскольку возможность заточки на следующий уровень зависит от того, заточился ли он в прошлый раз.
Пример: вероятность того, что вещь заточится с 0 до 9 с шансом 66% (до 3 точится с шансом 100%) равна:
1×1×1×0.66×0.66×0.66×0.66×0.66×0.66 = 0.666 ≈ 8,27%
Пример: вероятность того, что вещь заточится с 8 до 9 с шансом 66% равна 66%, поскольку предыдущие события уже произошли и их вероятность 1.
Для подсчета вероятности наступления события при множественных испытаниях производится аналогичная операция с противоположным событием.
Пример: шанс выпадения вещи равен 5% (1:20). Каков шанс, что она выпадет хоть раз с 20 монстров? Для этого оперируем вероятностью обратного случая q=1-0.05=0.95
1 - 0.9520 ≈ 64%, а вовсе не 100 как считают некоторые.
Для подсчета вероятности наступления события конкретное число раз при независимых испытаниях используется теорема Бернулли:
Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность Pm,n того, что событие A наступит m раз в n независимых испытаниях, равна: Pm,n=(n!/(m!×(n-m)!)) × pm × qn-m где q=1-p, а n! означает факториал, то есть произведение всех целых чисел от 1 до n. Факториал 0 равен 1.
Именно так считается вероятность заточить до определенного уровня несколько предметов, поскольку заточка одного никак не зависит от заточки другого. При m=1 данная формула дает тот же результат, что и предыдущая. Для получения вероятности наступления события не менее m раз следует суммировать шансы наступления события для всего диапазона от 1 до m.
Пример: вероятность события равна 66.6%, надо найти вероятность, что в серии из 6 независимых испытаний событие наступит ровно 2 раза:
(6!/(2!×(6-2)!) × 0.6662 × (1-0.666)6-2 = (720/(2×24)) × 0.443556 × 0.012444741136 = 15 × 0.005519939599319616 = 0.08279909398979424 ≈ 8.28%
Пример: в предыдущем условии подсчитать вероятность выпадения 1 или 2 раза. Мы уже знаем шанс того, что событие наступит 2 раза. Надо узнать шанс, что оно наступит 1 раз:
(6!/(1!×(6-1)!) × 0.6661 × (1-0.666)6-1 = 6 × 0.666 × 0.004156543539424 = 0.016609547983538304 ≈ 1.66%
Поскольку события зависимы и несовместны, то шансы можно сложить, получив 1.66% + 8.28% = 9,94%
Для проверки подсчитаем остальные варианты:
Мифы и легенды касательно вероятностей:
Миф: События с очень малой вероятностью происходят слишком часто.
Реальность: События, имевшие малый шанс и не произошедшие, принимаются как должное, а редкие запоминаются.
Мифы и легенды касательно генератора случайных чисел:
Миф: При высокой нагрузке на сервер генератор может зациклиться и выдавать одно и то же число.
Реальность: Не может, там используется внутренняя синхронизация.
Миф: Можно поймать последовательность генератора и предугадать следующее число.
Реальность: Генератор чисел глобален и вызывается много тысяч раз в секунду из множества мест в сервере. Даже зная точное состояние генератора будет невозможно этим воспользоваться. Исток мифа - механизм официального сервера, где генератор был не глобален и имел очень малый период.
Миф: Генератор подкручивается чтобы было сложнее.
Реальность: Как уже было сказано, сам генератор глобален и «подкручивать» его не имеет смысла.
